Учись работать с SPSS!быстрая и профессиональная обработка данных
психологических исследований
Типичные задачи
Легко решаемые
с помощью программы SPSS.
SPSS для профи
Специальные возможности
программы SPSS.
Вопросы и ответы
Часто задаваемые
вопросы по использованию
программы.
  добавить в избранное :: ссылки ::
Мобильный стильный ноутбук. Настольный ноутбук asus zenbook. | стационарные металлические стеллажи для торговли
     :: Регрессионный анализ

Главная страничка
Учебники по SPSS
Регрессионный анализ <<

Необходимые файлы:
usa.sav

 

Нелинейная регрессия

Многие связи по своей природе, то есть в реальной жизни, либо являются строго линейными, либо их можно привести к линейному виду. Один пример линейной связи из области медицины был приведен в главе 16.1; ещё одним, уже знакомым нам примером является линейная связь между весом и ростом. При условии наличия лопаточного количества респондентов, на основании измеренных пар значений можно вывести уравнение регрессионной прямой, к которой более или менее приближается '.тожество точек, соответствующие парам значений.

Существуют также линейные связи, следующие непосредственно из физических закономерностей. Так путь s, пройденный, при постоянной скорости с за промежуток времени : рассчитывается по формуле:

s=c•t

Стало быть, путь является линейной функцией времени. А если мы рассмотрим закон свободного падения, то в этом случае расстояние s. которое проходили падающее тело увеличивается пропорционально квадрату времени:

где g — ускорение свободного падения.

Если Вы захотите проверить это экспериментально, то Вам надлежит сделать серию опытов, в которых будет необходимо бросать некоторый предмет, например, камень, с различной высоты (лучше всего, конечно же, в разряжённом, безвоздушном пространстве) и засекать время падения. Предположим, у Вас получились следующие результаты:

s (см)

t (сек)

5

1,0

9

1,4

16

1,8

26

2,3

40

2,8

65

3,6

98

4,5

Хотя связь между 5 и с и не является линейной, её можно перевести в линейную модель, если взять квадратный корень из обоих сторон закона свободного падения:

С помощью преобразования данных, мы разрешаем компьютеру создать новую переменную, содержащую значения квадратного корня из величины s и рассматривать её как зависимую переменную, а время / как независимую переменную. Рассчитаем коэффициент регрессии b так, как это было изложено в разделе 16.1.

Используя этот коэффициент, можно теперь рассчитать искомое ускорение свободного падения:

Если Вы выполните эти вычисления, то получите b = 0,2224 и g = 9,88.

При помощи соответствующих трансформаций в линейную модель можно перевести и другие исходно нелинейные связи. К примеру, очень часто встречающуюся экспоненциальную связь

у = а•е bx

можно преобразовать в линейную при помощи вычисления логарифма от обеих сторон уравнения

ln (у) = ln(a) + b•x

То есть в данном случае до проведения линейного регрессионного анализа необходимо прологарифмировать независимые переменные.

Связи, которые при помощи соответствующих трансформаций могут быть переведены в линейную связь, называются линейными по существу (Intrinsically Linear Model). Возможность перевода в линейную модель нужно использовать всегда, так как в этом случае параметры регресии вычисляются непосредственно, а не определяются с помощью итераций.

В качестве примера нелинейной по существу связи (Intrinsically Nonlinear Model) можно привести динамику роста населения США (этот пример взят из Справочника по SPSS):

Год

Лекала

Население

1790

0

3,895

1800

1

5,267

1810

2

7,182

1820

3

9,566

1830

4

12,834

1840

5

1 6,985

1850

6

23,069

1860

7

31,278

1870

8

38,416

1880

9

49,924

1890

10

62,692

1900

11

75,734

1910

12

91,812

1920

13

109,806

1930

14

122,775

1940

15

131,669

1950

16

150,697

1960

17

178,464

В таблице приведена численность населения в миллионах и дополнительно количество декад (десятилетий), прошедших с 1790 года.

Зависимость численности населения (переменная pop) от времени t (выраженного здесь в декадах) часто описывается при помощи следующей формулы:

Эту связь нельзя перевести в линейную форму. Она включает три параметра: а, b и с, которые должны быть определены при помощи подходящего метода. Для этого необходимо задать начальные значения этих параметров.

Общего универсального метода определения параметров подобной нелинейной связи, к сожалению, не существует, поэтому описанная ниже последовательность действий может служить только примером.

В рассматриваемом примере параметр с является амплитудой, так что начальное значение может быть задано немного большим, чем максимум значения pop, то есть приблизительно с = 200.

При помощи значения параметра pop при t = 0 и начального значения параметра с можно получить начальную оценку параметра а:

3,895 = 200/(1+e 2 )

и следовательно

а = ln((200/3,895-1)) = 3,9

Исходя из значения параметра pop для первой декады, можно вычислить начальное значение параметра b:

5,267=200/(1+e 3,9+b )

и следовательно

b=ln(5,267-1)-3,9 = -0,3

Определим теперь более точные значения параметров а, b и с с помощью итераций.

  • Откройте файл usa.sav.

  • Выберите в меню Analyze... (Анализ) Regression... (Регрессия) Nonlinear... (Нелинейная)

  • В диалоговом окне Nonlinear Regression (Нелинейная регрессия) перенесите переменную pop в поле для зависимых переменных.

  • Щёлкните на поле Model Expression (Модельное выражение) и внесите в него следующую формулу:

c/(l+exp(a+b*dekade))

При вводе формулы можно использовать клавиатуру, находящуюся в диалоговом окне. Диалоговое окно будет выглядеть так, как изображено на рисунке 16.15. Нам осталось только задать начальные значения параметров.

  • Щёлкните на кнопке Parameter... (Параметр)

Вы получите диалоговое окно, в котором сможете задавать начальные значения.

  • Укажите в поле имён имя первого параметра, то есть, к примеру, а, затем щёлкните в поле Starting value (Начальное значение), введите значение 3,9 и щёлкните на Add (Добавить).

Рис.: Диалоговое окно Nonlinear Regression (Нелинейная регрессия).

  • Поступите таким же образом с двумя другими параметрами бис (начальные значения —0,3 и 200 соответственно).

  • Покиньте диалоговое окно нажатием Далее.

  • Щёлкните на кнопке Save (Сохранить). Отметьте в диалоговом окне Nonlinear Regression: Save New Variables (Нелинейная регрессия: Сохранить новые переменные) параметры: Predicted Values (Прогнозируемые значения) и Residuals (Остатки). Таким образом, Вы создадите две новые переменные (с именами: pred_ и resid), которые содержат вычисленные значения и остатки для каждого года.

  • Начните расчёт нажатием ОК.

На экране появятся результаты, причём Вы можете заметить, что вывод происходит не в виде привычных современных таблиц. Сначала протоколируется процесс итерации; в рассматриваемом примере для достижения заданного уровня точности понадобилось 10 итерационных шагов. Дополнительно выводятся следующие статистические характеристики:

Nonlinear Regression

Summary Statistics Dependent Variable POP

Source

DF

Sum of Squares

Mean Square

Regression

3

123048 ,61437

41016,20479

Residual

15

186,50337

12,43356

Uncorrected Total

18

123235,11774

(Corrected Total)

17

53291,50763

R squared = 1Residual SS / CorrectedSS = ,99650

Здесь интерес может представлять только член, обозначенный R squared; его следует понимать как часть суммарной дисперсии, которая обусловлена построенной моделью. Вычисленное значение этого параметра, 0.9965, указывает на очень хорошую степень приближения. После этого вывода следует распечатка конечных значений всех трех параметров вместе с соответствующей стандартной ошибкой и доверительным интервалом:

Asymptotic 95 % Asymptotic Confidence Interval

Parameter Estimate

Std. Error

Lower Upper

A

3,888771432 ,

093688592

3,6890789254 ,088463938

В

-,278834486,

015593535

-,312071318 - ,245597654

С

244,01372955

17,974966354

205, 70099568 282

,32646341

Завершает список выводимых результатов корреляционная матрица оценок параметров:

Asymptotic

Correlation А

Matrix of В

the

Parameter Estimates С

А

В

С

1,0000

-,7243

-,3759

-,724:

1,000

,904

3

'0

3

-,3759

,9043

1,0000

Очень высокие абсолютные значения корреляций указывают на то, что модель содержит неоправданно большое количество параметров. В рассматриваемом примере и модель с меньшим количеством параметров даст столь же хорошее приближение.

  • Если Вы хотите визуально сравнить рассчитанные значения с наблюдаемыми, то можете посредством меню Graph... (Графики) Scatter plots... (Диаграммы рассеяния)

построить многослойную диаграмму рассеяния (Staggered), на которой Вы можете представить переменные pop и pred_ в зависимости от переменной jahr. Также можно поступить и с остатками (переменная rcsid).

Согласно предварительным установкам при расчете нелинейной регрессии происходит минимизация суммы квадратов остатков. При помощи кнопки Loss...(Остаток) можно задать какую-либо другую минимизирующую функцию. Далее при помощи кнопки Constraints...(ограничения) может быть открыто окно, в котором можно задать ограничения для определяемых параметров нелинейной регрессии.

назад :: оглавление :: дальше


 
© 2005 learnSPSS.ru. Все права защищены.